선형방정식계의 목적과 기본 개념

선형방정식계system of linear equations는 선형계linear system라고도 부른다.
여기서 system이란 연립방정식을 의미한다. 즉, 다변수 1차 방정식의 연립이다.

방정식의 존재 의의는 해solution를 찾는 것이다. 이때, 다음 중 하나를 만족한다.

1. 해를 갖지 않는다 - inconsistent
2. 단 하나의 해를 갖는다 - consistent
3. 무수히 많은 해를 갖는다 - consistent

이때, 가능한 모든 해를 모아 놓은 것을 해집합solution set이라고 부른다.
두 선형계가 동일한 해집합을 갖는 것을 동치equivalent라 한다.

선형계의 해를 찾는 일관된 방법론을 찾기 위해 고안된 것이 행렬matrix이다. 행렬은 보통 계수 행렬coefficient matrix로써 쓰인다. 여기에, 경제성을 고려한 첨가 행렬augmented matrix의 형태도 있다. 이때, 행렬의 크기matrix size는 (행의 개수) × (열의 개수) 형태로 표현한다.

ERO(Elementary Row Operation)

선형계에서 일관된 해 집합을 찾는 구체적인 방법론이 바로, 기본 행 연산ERO(Elementary Row Operation) 이다.

-ERO
1' 교체Replacement - 하나의 행을 그 행에 다른 행을 상수배한 것으로 교체한다.
2' 교환Interchange - 두 행을 교환한다.
3' 스칼라곱Scaling - 하나의 행을 0이아닌 상수로 스칼라배 한다.

이러한 ERO의 원리들은 선형계의 연립방정식에 속한 각각의 방정식 들을 참으로 가정하는 것이다. 하나의 방정식은 하나의 관계를 결정한다. 이러한 관계, 즉 연결성은 하나의 차원을 결정할 수 있다. 따라서, 한개의 식이 하나의 차원을 낮춘다.
Relplacement의 의미는, 하나의 행, 즉 하나의 방정식이 나타내는 해집합을 교체한다는 것을 의미한다. 다른 행, 즉 다른 방정식이 나타내는 해집합과의 교집합은 변하지 않은 채로 말이다. 이를 기하적으로 설명하자면, 3차원 상에서 하나의 방정식의 해 집합은 2차원 평면으로 나타난다. 이것을 또 다른 방정식이 나타내는 해 집합과의 교선을 기준으로 해당 해집합 평면을 빙글빙글 돌려버리는 것이다.
Interchange는 아직 무의미하다.
Scaling 또한 곱셈이 덧셈의 확장이라는 측면에서 기하적으로 무의미하다.

당연히 ERO의 연산을 통해 도출된 행렬들은 언제나 동치일 것이다. 이처럼 ERO를 통해 서로 전환될 수 있는 특별한 동치들을 행 동치row equivalent라 부른다.

아래 그림에서 Replacement의 기하적 의미와 해의 존재성에 대한 문제를 통찰할 수 있다.

▲이와 같은 방정식 3개가 주어져 있는 상황에서 파란색 평면식을 이용해 주황색 식을 Replacement하면,

▲이처럼 주황색 평면이 교선을 중심으로 빙글 돈다. 그 결과, 하늘색 평면과 평행한 평면이 만들어 지며, 두 평면을 연립하면, 모순 즉, 해가 존재하지 않는 결과가 발생할 수 밖에 없다.

이것이 해의 존재성 문제이다.
만약, 해가 존재할 때, 그 해가 유일하려면, 단 하나의 점에서만, 각각의 방정식의 해 집합평면들이 교차해야 한다. 하나의 방정식은 하나의 차원을 결정할 뿐이므로, 하나의 점이 유일하려면, 존재하는 모든 차원의 개수만큼, 차원을 결정지어 주어야 한다. 즉, 차원의 개수만큼 서로 다른 방정식이 존재해야 한다. 이때, 하나의 방정식을 Replacement 하여 다른 방정식과 같아져서도 안된다.

즉, 행의 개수는 차원의 개수만큼 있어야 하며, ERO를 통해 0이 되는 행이 없어야 한다. 만약 평행이라면, 모순이므로 inconsistent이다.